검색
리더스톡

피타고라스, ‘도레미파솔라시’를 착안하다.

음악은 대중의 관심 대상이다. 음악의 제1 구성요소인 ‘가락(=멜로디, 선율)’은 ‘음의 높이의 연속적 결합’이다. 음의 높이는 ‘도레미파솔라시’의 7음계로 나타낸다. 음의 높이 간에는 일정한 규칙성이 존재한다.  이 규칙성을 알아낸 인물이 고대 그리스의 피타고라스다.

 

소리는 악기 혹은 ‘인간의 성대’가 진동하면서 공기에 압력을 가하여 공기(구체적으로는 질소분자, 산소분자 등)를 진동케 하여 발생한다.


음악은 ‘소리의 한 가지이며, 일정한 음색이나 음조를 유지하고, 압력 변화에 있어 주기적인 성질을 갖는 것’이다. 소리 중에서 음악을 제외하고 남는 것은 잡음이다. 음악가들은 음조가 ① 크기(공기의 압력의 정도), ② 높이(압력의 변화가 반복되는 주기 - 낮은 소리는 높은 소리보다 주기가 길다), ③ 음색(크기/높이가 같은 음에서도 느껴지는 차이) 등의 3가지 특성으로 표현된다고 한다. [리차드파인만 외 2인 공저, 박병철 역, 리차드파인만의 물리학 강의 I, 도서출판 승산(2004년) 50-1, 50-2면 참조]

국 ‘공기의 압력의 변화의 모습’에 의거해 음조는 결정된다.


한편, 음악의 3요소는 가락(=멜로디, 선율), 리듬(=이어지는 소리들의 각 길이의 결합의 질서), 화성(=높이가 다른 둘 이상의 소리의 동시적 결합) 등이다.


가락(=멜로디, 선율)은 ‘높이가 다른 둘 이상의 음을 시간 순에 따라 결합하는 순서’이다. 음의 높이는 ‘1초당 진동수’즉 ‘주파수’가 많을수록 높아진다. 현악기의 현의 길이가 길수록 주파수가 적어지고 낮은 소리가 난다.


피타고라스의 조율법은 음의 높이 간에 존재하는 규칙성이다. 즉, ‘도’를 기준음으로 하여, 1옥타브(octave, 약어:Oc.) 높은 도는 기준음 도의 현의 길이의 ‘1/2’, 솔(기준음 도보다 5도 높은 음-도레미파솔 5개이므로 5도라고 칭함)은 현의 길이가 기준음 도의 2/3이다. 이 2가지로부터, ‘기준음 도의 현의 길이 = 1(단위 생략)’이라 전제하고, 도레미파솔라시의 각 음에 해당하는 현의 길이를 하기와 같은 순서로 구할 수 있다(수학동아 2012년 5월호 김산수의 산학유랑기, 조가현 기자 글 참고).


[각 단계별 현의 길이 계산식-원번호의 순서에 의거하여 계산함] 

순서 및 계산에 대한 설명

계명

현의 길이(계산식)

⑧ 1옥타브 높은 미의 현의 길이 = 라(16/27)보다 5도 높으므로 16/27에 2/3를 곱함

1 Oc.

높은 미

32/81(=16/27× 2/3)

④ 1옥타브 높은 레의 현의 길이 = 솔보다 5도 높은 음이므로 솔의 현의 길이(2/3)에 2/3를 곱함

1 Oc.

높은 레

4/9(=2/3× 2/3)

② 1옥타브 높은 도의 현의 길이=기준음 도의 현의 길이의 1/2

1 Oc.

높은 도

1/2

시의 현의 길이 = 미(64/81)보다 5도 높은 음이므로 64/81에 2/3를 곱함

128/243(=64/81× 2/3)

라의 현의 길이=레의 현의 길이(8/9)에 2/3를 곱함(5도 차이이므로)

16/27(=8/9× 2/3)

솔의 현의 길이=기준음 도의 현의 길이의 2/3(기준음 도보다 5도 높은 음이므로)

2/3

파의 현의 길이 = 1옥타브 높은 도(현의 길이=1/2)보다 5도 아래 음이므로 3/2을 곱함

3/4(=1/2× 3/2)

미의 현의 길이 = 1옥타브 높은 미의 현의 길이(32/81)의 2배

64/81(=32/81× 2)

레의 현의 길이 = 1옥타브 높은 레의 현의 길이(4/9)의 2배

8/9(=4/9× 2)

‘기준음 도’ 현의 길이 = 1

(기준음)

1  

 

[상기 표의 설명을 도면으로 나타낸 그림]  

도레미파솔라시 각 음에 해당하는 현의 길이의 결정 순서

(원번호의 순서에 의거해 현의 길이를 작도함)  

 

IMG_2289.JPG

이상.

김준효(변호사/수학 칼럼니스트) (변호사 김준효 법률사무소)
미국변호사